عنوان مقاله:
تجزیه و تحلیل شمع های دایره ای غیریکنواخت بارگذاری شده پیچشی در خاک های الاستیک غیر همگن چند لایه
Analysis of torsionally loaded non-uniform circular piles in multi-layered non-homogeneous elastic soils
رشته: مهندسی عمران
گرایش: سازه، خاک و پی, مدیریت ساخت
دانلود رایگان این مقاله:
دانلود مقاله شمع های دایره ای غیریکنواخت
مشاهده سایر مقالات جدید:
2. Formulation of problem
Fig. 1 shows the main features of the formulated problem. Fig. 1(a) depicts a prismatic, tapered and stepped pile subjected to a torque 𝑇 at the pile head and embedded in a soil with 𝑖th layers. The pile segment has a shear modulus 𝐺𝑝, variable polar moment of inertia 𝐽(𝑧), variable cross-sectional area 𝐴(𝑧) and length 𝐿𝑝 . For the analysis, the pile is subdivided into a number of segments, one segment for every change in soil properties or pile geometry. Fig. 1(b) shows a segment of pile of length 𝐿 (i.e., segment 𝐴𝐵 - layer 3) for which the constitutive GDE and stiffness matrix are derived. The soil is modeled with rotational discrete springs, and the shear modulus within each layer is assumed to vary with depth following a quadratic function of the form 𝐺(𝑧) = 𝐺𝑜+𝑠𝑧+𝑡𝑧2 (Fig. 1(c)). 𝑠 = 𝑡 = 0 represents a homogeneous distribution of 𝐺(𝑧) and 𝑡 = 0 a linear increasing or decreasing variation of 𝐺(𝑧). The soil is represented as a discrete, independent linear elastic spring. This simplification is analogous to the well-known soil model proposed by Winkler for a beam resting on elastic foundation. Discrete methods are simple to implement and, as shown by many researchers, they accurately predict the torsional response of piles [12,18,22]. Fig. 2 shows a reference circular pile for the tapered elements. Here, 𝑟𝑏 and 𝑟𝑡 are the radius at the top and bottom of the pile, respectively. 𝑟𝑒𝑞 is the radius at 𝑧 = 𝐿𝑝∕2. 𝑚 is the taper ratio and is defined as 𝑚 = 𝑟𝑏∕𝑟𝑡 . 𝑚 = 1 correspond to a prismatic pile. It is assumed that the pile: (i) twists about its principal longitudinal axis; (ii) behaves as a homogeneous, isotropic, linear elastic material and (iii) experiences only St. Venant torsion stresses. These assumptions are considered appropriate from a practical perspective, where the design engineer limits the magnitude of the torsional load that the foundation will experience and both the soil and pile element remain in the linear regime for the applied loads (working loads), factors of safety implemented for design and torsional rotation design limitations. Next, the governing differential equation (GDE) of a single pile segment, its corresponding analytical solution and the derivation of its stiffness matrix – a required step to investigate piles in multi-layered soils – are presented
5. Stiffness matrix derivation
The local stiffness matrix of the pile segment 𝐴𝐵 shown in Fig. 1 is derived from equilibrium and compatibility conditions. This matrix relates the nodal torques and angles of twist in local coordinates. The stiffness matrix method is used to analyze non-uniform circular piles in multi-layered soils. Here, the torsional stiffness contribution of the pile base is neglected. For further details about the stiffness matrix method, the reader is referred to Przemieniecki [28] and McGuire et al. [29]. Segment 𝐴𝐵 could represent a layer of soil in a multi-layered soil profile or a portion of the pile with different material or geometry properties (i.e., stepped piles). The stiffness matrix has a size of 2 𝑥 2, one for each degree of freedom (rotation) at each end of segment 𝐴𝐵. Fig. 1(d) shows the right-hand sign convention adopted in the matrix analysis for the torques and rotations. The angle of twist at 𝜁 = 0 can be evaluated using Eq. (6). At 𝜁 = 1, and taking into account that coefficients 𝜃̄(2) − 𝜃̄(𝑖) are linear combinations of 𝜃̄(0) and 𝜃̄(1), 𝜃(𝜁) can be conveniently expressed as: 𝜃(𝜁 = 1) = 𝑓0 𝜃̄(0) + 𝑓1 𝜃̄(1) (15) where 𝑓0 and 𝑓1 are functions that grouped the coefficients of the series affected by 𝜃̄(0) and 𝜃̄(1), respectively. 𝑓0 is the value of 𝜃(𝜁 = 1) in Eq. (6) when 𝜃̄(0) = 1 and 𝜃̄(1) = 0. Coefficients 𝜃̄(2) − 𝜃̄(𝑖) are computed from Eq. (8). 𝑓1 is determined in an analogous manner by taking 𝜃̄(0) = 0 and 𝜃̄(1) = 1. By definition, terms 𝑆11 and 𝑆21 of the matrix are the holding actions at ends 𝐴𝐵, respectively, when a unit rotation is imposed at node 1 while holding the rotation at node 2 to zero. Terms 𝑆12 and 𝑆22 are determined in an analogous manner by imposing a unit rotation at node 2 while holding the rotation at node 1 to zero.
(دقت کنید که این بخش از متن، با استفاده از گوگل ترنسلیت ترجمه شده و توسط مترجمین سایت ای ترجمه، ترجمه نشده است و صرفا جهت آشنایی شما با متن میباشد.)
2. فرمول بندی مسئله
شکل 1 ویژگی های اصلی مسئله فرموله شده را نشان می دهد. شکل 1(a) یک شمع منشوری، مخروطی و پلکانی را نشان می‌دهد که تحت یک گشتاور 𝑇 در سر شمع قرار گرفته و در خاکی با لایه‌های 𝑖 قرار گرفته است. قطعه شمع دارای مدول برشی 𝐺𝑝، گشتاور قطبی متغیر اینرسی 𝐽(𝑧)، سطح مقطع متغیر 𝐴(𝑧) و طول 𝐿𝑝 است. برای تجزیه و تحلیل، شمع به تعدادی بخش تقسیم می شود، یک بخش برای هر تغییر در خواص خاک یا هندسه شمع. شکل 1(b) قطعه ای از شمع به طول 𝐿 (یعنی قطعه 𝐴𝐵 - لایه 3) را نشان می دهد که GDE سازنده و ماتریس سختی برای آن مشتق شده اند. خاک با فنرهای گسسته چرخشی مدل‌سازی می‌شود، و مدول برشی در هر لایه با توجه به تابع درجه دوم شکل 𝐺(𝑧) = 𝐺 𝑠 = 𝑡 = 0 نشان دهنده توزیع همگن 𝐺(𝑧) و 𝑡 = 0 تغییر خطی افزایش یا کاهش 𝐺(𝑧) است. خاک به عنوان یک فنر الاستیک خطی مجزا و مستقل نشان داده می شود. این ساده سازی مشابه مدل خاک شناخته شده ارائه شده توسط وینکلر برای تیری است که بر روی پی الاستیک قرار دارد. روش های گسسته برای پیاده سازی ساده هستند و همانطور که توسط بسیاری از محققین نشان داده شده است، آنها به دقت پاسخ پیچشی شمع ها را پیش بینی می کنند [12،18،22]. شکل 2 یک شمع دایره ای مرجع را برای عناصر مخروطی نشان می دهد. در اینجا، 𝑟𝑏 و 𝑟𝑡 به ترتیب شعاع بالا و پایین شمع هستند. 𝑟𝑒𝑞 شعاع 𝑧 = 𝐿𝑝∕2 است. 𝑚 نسبت مخروطی است و به صورت 𝑚 = 𝑟𝑏∕𝑟𝑡 تعریف می شود. 𝑚 = 1 مربوط به یک شمع منشوری است. فرض بر این است که شمع: (i) حول محور طولی اصلی خود می پیچد. (ب) به عنوان یک ماده همگن، همسانگرد، الاستیک خطی رفتار می‌کند و (iii) تنها تنش‌های پیچشی سنت ونانت را تجربه می‌کند. این مفروضات از منظر عملی مناسب در نظر گرفته می‌شوند، جایی که مهندس طراح مقدار بار پیچشی را که پی تجربه می‌کند محدود می‌کند و هم خاک و هم عنصر شمع در رژیم خطی برای بارهای اعمال شده (بارهای کاری)، عوامل ایمنی باقی می‌مانند. برای طراحی و محدودیت های طراحی چرخش پیچشی اجرا شده است. در مرحله بعد، معادله دیفرانسیل حاکم بر یک قطعه شمع، راه حل تحلیلی متناظر آن و استخراج ماتریس سختی آن - مرحله مورد نیاز برای بررسی شمع ها در خاک های چند لایه - ارائه شده است.
5. استخراج ماتریس سختی
ماتریس سفتی محلی قطعه شمع نشان داده شده در شکل 1 از شرایط تعادل و سازگاری مشتق شده است. این ماتریس گشتاورهای گره و زوایای پیچش را در مختصات محلی مرتبط می کند. روش ماتریس سختی برای تجزیه و تحلیل شمع های مدور غیر یکنواخت در خاک های چند لایه استفاده می شود. در اینجا، سهم سختی پیچشی پایه شمع نادیده گرفته شده است. برای جزئیات بیشتر در مورد روش ماتریس سختی، خواننده به Przemieniecki [28] و McGuire و همکاران ارجاع داده می شود. [29]. بخش 𝐴𝐵 می تواند نمایانگر لایه ای از خاک در یک پروفیل خاک چندلایه یا بخشی از شمع با خواص مواد یا هندسه متفاوت باشد (یعنی شمع های پلکانی). ماتریس سختی دارای اندازه 2 𝑥 2 است، یک عدد برای هر درجه آزادی (چرخش) در هر انتهای قطعه 𝐴𝐵. شکل 1(d) قرارداد علامت سمت راست را نشان می دهد که در تحلیل ماتریس برای گشتاورها و چرخش ها اتخاذ شده است. زاویه پیچش در 𝜁 = 0 را می توان با استفاده از معادله ارزیابی کرد. (6). در 𝜁 = 1، و با در نظر گرفتن اینکه ضرایب 𝜃̄(2) − 𝜃̄(𝑖) ترکیب های خطی 𝜃̄(0) و 𝜃̄(1)، 𝜃(𝜁) را می توان به راحتی به صورت: 𝜃̄(𝑖) بیان کرد: = 0 𝜃̄(0) + 𝑓1 𝜃̄(1) (15) که در آن ❑0 و 1 توابعی هستند که ضرایب سری تحت تاثیر 𝜃̄(0) و 𝜃̄(1) را به ترتیب گروه بندی می کنند. 𝑓0 مقدار 𝜃(𝜁 = 1) در معادله است. (6) وقتی 𝜃̄(0) = 1 و 𝜃̄(1) = 0. ضرایب 𝜃̄(2) - 𝜃̄(𝑖) از معادله محاسبه می شود. (8). 𝑓1 به روشی مشابه با گرفتن 𝜃̄(0) = 0 و 𝜃̄(1) = 1 تعیین می شود. طبق تعریف، عبارات 11 و 21 ماتریس به ترتیب اعمال نگهداشتن در انتها هستند. گره 1 در حالی که چرخش را در گره 2 روی صفر نگه می دارد. شرایط 12 و 22 به روشی مشابه با تحمیل چرخش واحد در گره 2 در حالی که چرخش در گره 1 تا صفر نگه داشته می شود، تعیین می شود.
